转载于 [关于齐次坐标的理解-CSDN]。

两条平行线可以相交于一点

在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。

然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点。

欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述 2D/3D 几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2 维笛卡尔坐标可以表示为（x,y）。

如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会 (∞,∞)，在欧氏空间，这变得没有意义。平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题。

齐次坐标

简而言之，齐次坐标就是用 N+1 维来代表 N 维坐标。

我们可以在一个 2D 笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量 w 来形成 2D 齐次坐标，因此，一个点 (X,Y) 在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有

• X = x/w
• Y = y/w

例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为 (∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为 (1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了，哈哈。 为什么叫齐次坐标？

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面 n-1 个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现，例如：

你会发现 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应同一个 Euclidean point (1/3, 2/3)，任何标量的乘积，例如 (1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的 (1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。

证明：两条直线可以相交。

考虑如下方程组：

我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为 C ≠ D, 如果 C=D, 两条直线就相同了。

让我们在透视空间里面，用齐次坐标 x/w, y/w 代替 x ,y,

现在我们有一个解 (x, y, 0)，两条直线相交于 (x, y, 0)，这个点在无穷远处。

小结：齐次坐标在图形学中是一个非常基础的概念，例如 3D 场景映射到 2D 场景的过程中

参考

• songho.ca
• 关于齐次坐标的理解-CSDN