现代计算机图形学入门-闫令琪，课程笔记。

Lecture 7~9: Shading 着色



在图形学中，所谓着色，就是对不同物体使用不同材质的过程 (The process of applying a material to an object)。

物体表面的颜色受光照和材质的影响，光照中光线的颜色也在一定程度上决定物体表面的颜色。着色就是计算物体表面最终该如何显示的这么一个过程。

## 着色模型 Shading Model

简单来看，当光照射到物体上时，会有三种表现：高光（镜面反射）、哑光（漫反射）、环境光。如果我们能模拟出类似的表现，着色也就实现了，对于这三种情况我们分别建立不同的数学模型来进行计算。

在此之前我们先定义一些要用到的概念：

- shading is local：我们考虑物体的着色情况，考虑的是单位面积对于入射光的表现，不考虑阴影（如果物体被遮挡，那入射光类型就是环境光）。
- 因为这个单位面积的范围极小，可以视作平面（微积分），所以我们只需考虑平面情况；
- 所谓法线，就是垂直于这个平面的直线；

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/7cf8f7e8c3034c5a6619b3aed0caf08e.png" style="max-height: 300px">

### 哑光（漫反射 Diffuse）

漫反射（只考虑理想状态）：当光照射一点时，光线均匀的反射至各个方向，此时无论从哪个方向看物体，都是同样的颜色。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/d23893bc65d2dfb757823a0445781002.png" style="max-height: 300px">

理想状态下的漫反射我们采用的是 Lambertian Reflectance（朗博反射/理想散射/朗博余弦定理）数学模型，这是一个理想状态下的简单模型，并不完全符合物理定律。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/9dfadc7f0f966006b5df15c9c5c2035b.png" style="max-height: 300px">

1. `Kd`：一个系数，表示物体对于光能的吸收率；
2. `I/r²`：光的衰减/光能与距离的关系；
3. `max(0, n · l)`：入射方向与法线的夹角；
4. `Ld`：最终值，值越大亮度越大。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/2b4551d67fd34044cab9ec52ba194b24.png" style="max-height: 300px">

<center>_Kd 值越大，反射出的光线越多，物体表面看上去越亮_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/99d402dc72cc161a44a0e7a6620522e8.png" style="max-height: 300px">

<center>_假设光均匀传播，光能与距离的平方成反比。物体离光源越近，亮度越大_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/7abe6a606f8e55272c6fd85ec7b87924.png" style="max-height: 300px">

<center>_入射方向与物体表面夹角不一样，吸收的光能多少也不一样，亮度也就不一样_</center>

### 高光（镜面反射 Specular）

高光：接近于镜面反射。当观察方向与光的反射方向很接近时才能看到高光。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/990aaf5058cc5ddc8bad07d10f0bf223.png" style="max-height: 300px">

此时计算是否显示高光，其实就是计算向量 V 与 R 的夹角，使用的是 Phong Reflectance Model。但是这个计算很麻烦，人们对其进行了改进，叫 **Blinn-Phong Reflectance Model**。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/1c584e99d75d7170b66ca24ba81f319d.png" style="max-height: 300px">

Blinn-Phone 模型很巧妙的将计算位置改到了向量 h 与法线 n 的夹角。而向量 h 可以由向量 l 和 n 点乘获得，很方便计算。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/e02fb42df83ee95641cfb052eb6ac58c.png" style="max-height: 300px">

- 此公式中其他参数与漫反射模型中一致
- `p`指数代表可以看到高光的范围。一般采用 `100 

<center>_p 指数越大，可以看到高光的范围越小（x 轴）_</center>

### 环境光 Ambient

环境光的模型比较简单，主要是为了保证视野内不是一片黑色。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/87b67212d3062506099eb0720f446e45.png" style="max-height: 300px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/Snipaste_2022-11-11_15-58-44.png" style="max-height: 300px">

最后，这三种情况叠加在一起，就是我们在着色时使用的模型：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/88d964048bf3cddd1da22827558ff304.png" style="max-height: 300px">

## 着色频率 Shading Frequencies

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/3af7e2dd270a69e72ea8c8f35867444d.png" style="max-height: 300px">

<center>_三种不同的着色频率（方式）_</center>

1. 方式一：面着色 (Flat shading)。根据每个平面的法线来确定颜色。
2. 方拾二：顶点着色 (Gouraud shading)。根据每个顶点的法线来确定颜色，平面的颜色根据顶点的值使用插值算法求得。
3. 方式三：像素着色 (Phong shading)。根据每个像素的法线来确定颜色。（注意，与 Blinn-Phong Reflectance Model 不是一个东西）

三种方式渲染方式最终效果并没有高低之分，渲染条件不一样，结果也不一样，需要根据不同情况来进行选择。如下图所示，当物体切割的层面无限多时，最终效果是差不多的。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/5bf9d6da5f32424db7a7f2757ac9817d.png" style="max-height: 300px">

## 图形管线 Graphics Pipeline

所谓图形管线其实就是从开始建立三维场景到渲染出最终图像的整个过程（类似于生命周期），这个过程中有几个主要操作步骤。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/9497caeac3920c4aa6def93341ba7c87.png" style="max-height: 600px">

- 输入三维的点 > 投影到屏幕上 > 点与点连线形成三角形 > 三角形光栅化，离散为片元 > 着色 > 显示
- 这整个流程是在硬件里面写好了的
- 为什么第一步确定的是顶点？
	- 三角形投影变幻之后的形状可能会改变，也就是点的位置会改变，确定了顶点，投影之后连线就可以了。
- 现代 GPU 有可编程的渲染管线，可以让用户来决定每个步骤如何执行

## 纹理映射 Texture mapping
 
<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/cef6329b63554b3029616da4c20fbd74.png" style="max-height: 400px">

 纹理贴图本质上在做一个什么事情？
 
 物体是三维的，但物体表面是二维的。我们可以制作这么一张图片，图片上的每个点与二维表面的每个点一一对应，那么这张图就可以完美的贴在物体表面。这就是纹理贴图要做的事。
 
 贴图上的每个点与二维表面的每个点的对应关系，就是纹理映射。
 
<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8efd6e8fdd21989e0a4dfcc5db9f7317.png" style="max-height: 400px">
 
 如上图所示，图中玩具球上所有的点使用的是同一个着色模型，但是表现出来的颜色并不一致。根据着色模型公式的推导我们知道，表现不一致是因为不同点的着色系数不一样（图中红色字体），那么每个点的着色系数我们是需要单独保存的。推广开来，我们可以为每一个点保存一组参数来表示这个点的属性，所有属性综合起来才是这个点最终的表现结果。 映射时用到的一些属性，我们同样可以保存在点的那组参数里。
 
 贴图是二维的，其上的每一个点都可以使用直角坐标 (u, v) 来表示。贴图中每个小三角形顶点的数据我们已经有了，三角形中间的数据，需要使用插值的方式来计算出来。
 
<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/941b68e4474924f409112bfb3664ac31.png" style="max-height: 400px">

### 三角形插值 Interpolation Across Triangles

插值（Interpolation），是一种通过已知的、离散的数据点，在范围内推求新数据点的过程或方法。利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

> 我的理解：插值与采样相反，采样是已知连续只取部分，插值是已知部分求连续

插值的方式有很多种，这里我们用的是线性插值。如下图，如果已知坐标 (x0, y0) 与 (x1, y1)，要得到 `[x0, x1]` 区间内某一位置 x 在直线上的值，其实就是求出 (x0, y0) 与 (x1, y1) 可能的函数曲线，然后带入 x 求得 y，此时求得的 y 值虽然有误差，但是是一个非常近似正确的值。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/3a4bb527c4c9f1eeea82801712630776.png" style="max-height: 300px">

<center>_线性插值示意图_</center>

- 为什么使用三角形插值？
	- 着色时候很多操作是在三角形的顶点进行的，我们希望通过顶点的值获得三角形内部每个点平滑过渡的近似值；
- 希望插值哪些内容？
	- 纹理坐标，颜色，向量 …
- 如何插入？
	- 三角形的重心坐标（线性插值）
	- 其实还有其他插值方式，常用的是线性插值；

什么是重心坐标？

前面我们有讲过单位向量（长度为一，只表示方向），在笛卡尔坐标系中 X 轴 Y 轴的单位向量又叫做**基向量**，所有的向量都可以表示为 `Sx*i + Sy*j` 。如下图所示：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/ffd6f855a24039bc9acbfea303070bcc.png" style="max-height: 300px">

也就是说，**在笛卡尔坐标系中，任何的向量都是基向量 i, j 进行缩放后相加的结果**，这一概念肥肠重要。

我们把这个概念拓展一下，脱离直角坐标系，不再局限于 X 轴和 Y 轴上，而是可以在整个平面内随意移动和缩放，此时如果用 v, w 来表示基向量，那么我们就可以用 `Sv*v + Sw*w` 来表示这个平面上的任意一个向量！当这个向量的起点是原点时，`Sv*v + Sw*w` 表示的就是任意一个点。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8d11145ff12f9ffe382452374c7d4799.png" style="max-height: 300px">

有了这一个概念，我们看下图这个更直观的例子，在非直角坐标系中，将 abc 看做是三角形的顶点，a 看做原点，a 到 b 和 a 到 c 的向量分别是基向量，α, β, γ 为缩放倍数，那么任一点 p 可以表示成：

- p = a + β(b-a) + γ(c-a)
- 移项得到：p = (1-β-γ)a + βb + γc
- 定义一个新变量α，使得 α = 1-β-γ
- 此时 p = αa + βb + γc
- (α, β, γ) 就称为点 p 的重心坐标

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/fd6b634f6c7ca9d88ef12bd0838a2830.png" style="max-height: 300px">

好的，我们回到刚刚讨论的三角形。知道啥叫重心坐标了，如何计算 α,β,γ 的值呢？直接给出，不做推导了。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/cbf0244ab183266efa8a940e496e6ba2.png" style="max-height: 300px">
_任意一点重心坐标 (α, β, γ) 的计算公式_

重心坐标是计算插值的一种方式，我们只要将三个顶点 ABC 中已知的值作为常量带入上面的计算公式，就可以得到三角形内所有像素点的重心坐标（α, β, γ 的值），也就是这一点的插值！这个“已知的值”可以是三个顶点的任意属性：color、depth、material attributes ...

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/53779c8deae226d58887560c6402597b.png" style="max-height: 300px">

> 注意：三维物体上的三角形投影到二维，重心坐标有可能会改变，所以如果想计算一些三维属性的插值，应该取三维空间中的顶点属性再去计算得到的结果才是正确的！

## 纹理应用 Applying Textures

 现在我们可以获得三角形上每一个点的属性插值了，同样也就能够获取贴图的 (u, v) 坐标了，获取之后去贴图的二维直角坐标系上查询对应的 (u, v) 坐标赋值即可。当然，在应用的过程我们会遇到问题。
 
 ### 遇到的问题
 
Q：第一个问题，当显示器的分辨率很大，但贴图却很小的时候该怎么做？
A：打补丁的事当然少不了插值🤣可以使用双线性插值和双立方插值法来计算插值。如下图，红点位置考虑周围四个点的情况，先水平方向线性插值，后垂直方向。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/778a952eb4812f12e586d096001cec3e.png" style="max-height: 300px">

Q：第二个问题：当显示器分辨率低，贴图太大怎么办？
A：本质是像素覆盖的纹理面积太大，会产生走样和锯齿。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8c46ef4057ffd704fbb4988f0b98d3b0.png" style="max-height: 300px">

- 解决方式一：Supersampling 更多的采样
	- 太浪费
- 解决方式二：范围查询
	- 采样引起的误差，那就不采样了，直接求范围内的平均值
	- 常用的 Mipmap：速度快，只能做正方形的近似查询，有误差

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/0ed60d9d0984dff53be2a7b0202a1fe2.png" style="max-height: 300px">

<center>_第一张为原始贴图，后续的每张图在前一张的图上像素数减小一半_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/2e829e4de52ba19052757cf098d42951.png" style="max-height: 300px">

<center>_Mipmap 图像金字塔_</center>

Mipmap 带来的问题：过度模糊。因为只能取贴图正方形内的近似值，可像素部分的贴图对应在贴图的 uv 坐标上不一定是正方形，这就会造成偏差增大，结果就是远处的元素过渡模糊。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8b3ebfa6eeb44480267a62929cc20dcb.png" style="max-height: 300px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/973e4133839c0e80b8c741fbf561d2a1.png" style="max-height: 300px">

怎么解决呢？常用的是 EWA filtering：不规则图形分解成多个圆环，进行多次查询求得更准确的近似值。当然，多次计算会耗费更多性能。No free lunch...

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/50156dcc20de58f56869714cf1704765.png" style="max-height: 300px">

### 使用场景

- General method to bring data to fragment calculations Many applications
- Environment lighting
	- 物体对于光照的交互可以生成一张图保存起来
	- 常用的有 Spherical Map、Cude Map
- Store microgeometry
- Procedural textures
- Solid modeling
- Volume rendering

GAMES101-Lecture-7~9 着色

现代计算机图形学入门-闫令琪，课程笔记。

Lecture 5~6 Rasterization 光栅化



- “光栅化” (Rasterization) 的字面理解
	- Raster：德语中“屏幕”的意思
	- Rasterization：把画面绘制到屏幕上的过程。
- 对“屏幕”的定义
	- 一个像素点组成的平面（1920x1080）
	- 数学层面可以理解为一个二维数组
- 对像素 (Pixel) 的定义
	- 字面意思：“picture element” 的缩写
	- 这里我们将像素理解为一个一个只能有一种颜色的小正方形
	- 正方形的颜色由 (red, green, blue) 三原色混合而成
- 对“屏幕空间” (screen space) 的定义
	- 将屏幕放在一个坐标系内
	- 屏幕左下角是原点，向上 Y 轴，向右 X 轴（虎书中左上角为原点）
	- 此时像素可以使用 (X, Y) 来表示
	- 每个像素的中心点：(x + 0.5, y + 0.5)
	- 屏幕像素个数 (0, 0) ~ (width - 1, height - 1)
	- 屏幕覆盖范围 (0, 0) ~ (width, height)

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/974ee1ce7230ac6c5f3f881104832a76.png" style="max-height: 300px">

还记得吗，物体在通过上一章的变换之后，我们得到了一个**标准视体**。光栅化，就是将标准视体投影至屏幕上的过程。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/b5af7286c3b9ae432e52abda2a70197e.png" style="max-height: 300px">

在这个过程中，我们先忽略 Z 值，先将沿着 Z 轴的面变换至屏幕空间。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/c8182d8ba4750b439370c91c59a9d24d.png" style="max-height: 300px">

很简单的缩放变换，`[-1, 1]2 to [0, width] x [0, height]`，矩阵如下：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/a04f59602d73b0c60e334eaafdbb1a2b.png" style="max-height: 200px">

## Rasterizing Triangles into Pixels

物体的面可以看做是多个多边形（多数是三角形）组合而成的，现在物体已经投影到了屏幕坐标，那么如何使用像素来显示每个三角形？

这里的术语叫**采样**，意思是将三角形中无限多个点**离散化**为有限个点。三角形中有无数个连续的点，但我们只关注其中与像素中心坐标所重合的那些点，当我们点亮这些点的时候，屏幕上就会出现一个类似三角形的形状。像素的格子越小，多边形覆盖的像素点就越多，表示我们采样的点就越多，就越能够将三角形还原的更加完整。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/6bb898d2146913a5481aed58dc8722fa.png" style="max-height: 300px">

 按照这个思路，首先一个问题，如何判断一个像素是否落在这个三角形内？判断方法其实前面讲过，向量叉乘！

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/30a4cf7f887965a323aba58ab1122f8d.png" style="max-height: 300px">

若 P1P2 x P1Q > 0，则 Q 在 P1P2 的左侧。同理可证 Q 与 P0P1、Q 与 P0P2 的位置关系。

若像素点落在三角形的边上，可自定义处理，影响不大。

另一个问题：每次判断像素位置时候是否需要将屏幕上的所有像素都计算一遍？

其实不需要，一种方法是每次只计算下图蓝色区域即可，这个范围可以通过三角形三个顶点坐标得知，叫做 **Axis-aligned bounding boxes(AABB)**。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/3e9356ae53138fdca552b63036ac79c0.png" style="max-height: 300px">

但即便如此，我们可以看到还是有将近一半的计算被浪费了，如果碰到下图这样的三角形，浪费的将会更多。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/1f504035bcca7779b27beffb8a93d379.png" style="max-height: 300px">

这时可以考虑第二种方法，计算出三角形的一条边最接近的像素点，然后向右逐个扫描，直到另两条边上所接近的像素点，如下图所示：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/c89848fa379837cdaccfe4d8a4b50ac4.png" style="max-height: 300px">

这个计算方式并不简单，需要考虑很多细节，本课程并没有展开讲。

## 走样和反走样 Aliasing

刚才我们通过采样所得到的三角形看起来很不像三角形，这个叫走样 (Aliasing)，或者叫锯齿，原因是我们进行采样时只是简单的计算了三角形是否覆盖元素的中心点，用有限个点来展示无限个点肯定是存在偏差的，解决走样的过程也就是缩小这个偏差的过程。

除了锯齿，采样还可能造成摩尔纹、车轮倒转的错觉等问题。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/6bb898d2146913a5481aed58dc8722fa.png" style="max-height: 300px">

那该如何解决因为采样造成的走样问题？也就是常说的反走样/抗锯齿。

工业界使用的抗锯齿方法有很多种，大概可以分成三类：

- 整体抗锯齿
	- 工作在整个渲染流程中
	- SSAA
- 前期抗锯齿
	- 光栅化之前处理图像
	- MSAA：多重采样抗锯齿 (Multisampling Antialiasing)
	- HSAA
- 后期抗锯齿
	- 光栅化之后处理图像
	- EDAA、MLAA、SMAA、FXAA（边缘检测）、TAA（时间维度上多帧交替采样）

**课程中讲解的是主流抗锯齿方法 MSAA 的原理**

从数学的角度来看，采样时偏差大的原因是采样率太低，或者说信号变化的频率太高，导致采样的部分无法体现出整体的特征，是频率问题。如果我们能解决这个问题，走样也就不存在了。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/2091c89aeb24cd8f6f526717a14c1b57.png" style="max-height: 300px">

上图是采样率和函数频率的示意图：相同的采样率，信号频率越高（或者说相对采样率越低）越无法复现函数本身的走势。但我们打交道的是图像，那**图像中的频率**是指什么？又如何转化成可计算的数学问题？

> 这一部分老师讲的很跳跃，我另外又查了一些资料，数学水平有限，如有错误可在评论指出。

我们还是把图像看做无数个连续的点，每个点显示不同的颜色，所有的点聚在一起形成图像了的轮廓和色差。假如一张黑白图像，我们把它放在三维坐标系中 X 轴 Y 轴所在的平面，Z 轴表示灰度值，灰度值越高这个点就越亮，我们就能得到一张类似于下面这样的一张 3D 曲面图：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/f9aca8cb8214a391298ad8379bf86733.png" style="max-height: 300px">

而这样一个曲面图可以看做是在 Y 轴上有无数的函数曲线堆叠而成的。而傅里叶告诉我们，任意一个函数曲线，都可以由多个正弦平面波叠加而成（傅里叶变换）！很反直觉，但数学上确实能证明。

> 关于“波”的小科普可以查看这篇有趣的博文：[Waveforms - pudding.cool](https://pudding.cool/2018/02/waveforms/)

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/07b5fa6c11cb19532e7c038fe4186e5e.png" style="max-height: 600px">

<center>_图中绿色波由粉、紫、蓝三个正弦波叠加而成_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/d5ecb3e8d40e7dc90f29ee9d61510293.png" style="max-height: 600px">

<center>_叠加的正弦波无限多，就可以无限接近脉冲信号（微积分原理）_</center>

此时看到正弦波我们就有些熟悉了，正弦波可以用四个参数来描述：频率、幅度、相位、方向。但是还不够直观，我们将图片进行二维傅里叶变换之后得到他的频谱图（下图右侧）。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/04b2dea6b9c58cf9ae62fdeeecaf8da5.png" style="max-height: 300px">

注意，上面两张图上各点并不存在一一对应的关系。右侧图中每个亮点表示左侧图像上某一点与邻域点灰度值差异的强弱（梯度值），频谱图中亮点越多，表示整个图像的各个点之间的灰度值梯度更大，图片对比度更高更锐利；相反则整个图像更柔和。

傅里叶变换是可逆的，我们去掉部分低频波，只留下高频波之后可以得到下图左侧的图像。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/7a4936a93d81fa68746b42e9934c0c73.png" style="max-height: 330px">

去掉高频留下低频之后可以得到下面的图像：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/4ada7a1e667532cf7a07f8046b49feaa.png" style="max-height: 320px">

可以看到，留下低频图像整体更模糊了，留下高频边缘更明显了。（高频决定了细节部分，低频决定总体形状）此时如果我们去掉与采样率差值比较大的正弦波，采样就会更准确，减少走样。

> 这里参考了 [图像的傅里叶变换 - CSDN](https://blog.csdn.net/qq_33208851/article/details/94834614)

好，知道可以使用滤波对信号进行处理之后，那如何实现滤波？卷积运算！

卷积运算：对于图像的每一个像素点，计算它的邻域像素和滤波器矩阵的对应元素的乘积，然后加起来，作为该像素位置的值。计算时使用的卷积核不同，可以过滤掉不同频率的波，得到不同结果。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/a34c7c5d92fce12347ff6f0a9a8643cf.png" style="max-height: 300px">

<center>_卷积计算过程示意图_</center>

上图中“输入矩阵的窗口”其实可以看做是屏幕上每个像素被分成了九个小格子，我们通过对这九个小格子进行卷积运算，就可以得到一个平均值。这也是 MSAA 抗锯齿方法的原理。实际上一个像素可以被分为任意份，份数越多计算的越准确，当然计算量也就越大。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/002_副本.png" style="max-height: 900px">

<center>_MSAA 算法示意图_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/2e8055321bd410b9352c92a680c4f4fd.png" style="max-height: 400px">

<center>_卷积操作之后的图像边缘梯度值更小，整体更柔和，更不容易走样_</center>

> 这一部分参考了 [图像卷积与滤波的一些知识点 - CSDN](https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/49080029)

## Z-Buffer

解决了走样的问题，现在我们来考虑 Z 轴的问题：每个物体和相机的距离不一样，投影到屏幕上时，如何确定哪个在前哪个在后？

**解决方法一：画家算法。**

很直观的一个想法，跟画油画一样，先画最远处的再画近处的，近处物体就会把远处物体遮挡住。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/Painter_s_algorithm.png" style="max-height: 300px">

但这个算法无法处理以下问题：当物体互相遮挡的时候！

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/6030ff985f341be0e9fe66aa3f3aaed5.png" style="max-height: 300px">

所以就出现了**第二种解决办法：Z-Buffer（深度缓冲）**。

1. 以像素为单位，准备深度缓存器 (z-buffer，二维数组或另一张图），每个像素初始值为最大深度 ∞；
2. 依次渲染所有物体（顺序不重要）；
3. 每渲染一个物体，检测像素点是否有投影物体，有的话比较投影物体在该像素点的 z-value 和在 z-buffer 中的值的大小，将 z-buffer 中的值更新为较小的那个值；

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/5afbda155de9b7d194317b7a300fb438.png" style="max-height: 300px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/1164310e23086a69d7fc24abb52e02f2.png" style="max-height: 300px">

两个注意点：

1. 一个物体由多个三角形组成，寻找最小值的算法复杂度为 O(n)，因为只要最小值，而不是排序；
2. 物体渲染的先后顺序无关紧要；

GAMES101-Lecture-5~6 光栅化

现代计算机图形学入门-闫令琪，课程笔记。

Lecture 3~4 Transformation 变换



什么是变换？为什么要学习变换？

- 动画都是由各种各样的变换组合在一起的；
- 三维物体投影到二维平面就是变换的一种；

此外，在数学层面，可以将`变换`理解为`函数`，不需要关心中间发生了什么，只关心输入和输出的结果，输入向量输出的也是向量。之所以使用不同的术语，是因为`变换`这个词更能体现`运动`的意思，可以理解为点或向量在坐标系上的运动。🥳

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/9d0bef2d963817efb511706d61895287.png" style="max-height: 300px">

<center>_几何形式表现_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/Snipaste_2022-11-15_14-10-10.png" style="max-height: 300px">

<center>_矩阵形式表现（与上图无联系）_</center>

图形学中涉及的变换就是物体的原始坐标转变为屏幕坐标的一系列过程，主要涉及以下几个步骤：

1. 模型变换 Modeling transformation
2. 相机变换 Camera transformation
3. 投影变换 Projection transformation
4. 视口变换 Viewport transformation

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/e0edbd23c29c183e03ddfe16e48dad0d.png" style="max-height: 400px">

<center>_虎书 Figure 7.2_</center>

以拍照做类比，更容易理解图形学中经典的 MVP(model、view、projection)。

- 人们聚在一个地方 (**model** transformation)
- 确定相机的位置 (**view** transformation)
- 咔嚓！(**projection** transformation)

## 二维模型变换 2D Modeling transformations

首先我们要将常见的几种二维变换方式以数学语言的方式表示出来，这其中主要是找到坐标的变化规律。

其实前面讲到的几种变换都属于**线性变换**，如果在笛卡尔坐标上展示的话就是：直线变换之后还是直线且原点不会变化。线性变化可以很方便的使用矩阵的形式来表示和计算，可以观看 [3Blue1Brown 的这个视频](https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=a2c1c0a490a3abd28ff7603744293cc6) 帮助理解。

> 墙裂推荐看完 3Blue1Brown 关于线性代数的这个 [视频合集](\https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=a2c1c0a490a3abd28ff7603744293cc6)，肥肠有帮助！🍺

**缩放 Scale**：坐标 (x, y) 中 x, y 分别缩放 Sx, Sy 倍，以等式的形式表示就是：

- X′ = SxX + 0
- Y′ = 0 + SyY

以矩阵的形式表示就是：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/59ccdd1470b7c71de6d9ff47ac5aa9a8.png" style="max-height: 130px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/e879290e8dd13f07746f4e9bb502e8b5.png" style="max-height: 200px">

**镜像 Reflection**：以 Y 轴为轴做镜像时，x 的坐标就成了负值，以矩阵的形式表示就是：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/d7455da78074033f1eea00178f5b47d9.png" style="max-height: 130px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/7c114e70fe00f265b920cac2622a6165.png" style="max-height: 200px">

**切变 Shear**：y 轴的值不变，x 轴坐标变为 `x + a*x`，以矩阵形式表示：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/922209d913700319b1f9ef0b8d12396d.png" style="max-height: 130px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/af0522d02bd13ee4f6204b19ab701180.png" style="max-height: 200px">

**旋转 Rotation**：推导过程：先列出公式的大概样子，然后以特殊点的坐标 (0, 1), (1, 0) 去反推公式中的四个未知数 ABCD。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/Snipaste_2022-11-13_10-11-13.png" style="max-height: 300px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/a7eb3569e7f861c5e0d18dcbc47a55ca.png" style="max-height: 200px">

**总结**：以上几种变换形式都是线性变换，都可以使用`矩阵 x 向量`的变换矩阵来描述，不同变换对应的 a,b,c,d 约束不同。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/418db7c12d33d182ce799bb51d148d88.png" style="max-height: 300px">

此外还有一种变换——平移，他属于仿射变换。**平移变换时图形的原点发生了变化，所以不属于线性变换，不遵循上面公式的规律**！

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/bc4325fd0b98d0b743e433302aaef650.png" style="max-height: 130px">

为了让所有的变换形式保持统一的公式样式以便于批量处理，我们需要引入新的工具来解决这个问题，这个工具就是齐次坐标！

### 齐次坐标 Homogeneous coordinates

齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来表示。

向量和点，在二维坐标系中都可以使用 (X, Y) 的形式来表示，在三维他们分别这样表示 (X, Y, 0)，(X, Y, 1)。

此时刚才线性变换的变换矩阵就会变成下图所示，不同变换的 a,b,c,d,e,f 约束不同。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/a6e86068614073090f2ff33172a1ceca.png" style="max-height: 200px">

而此时，仿射变换也可以写成一样的变换矩阵：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8c83a88187f499dd3926beb33cf1cb51.png" style="max-height: 400px">

此时问题解决。刚才不同类型的线性变换转换为 3x3 矩阵之后如下所示：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/4bc3fc6630c77ab3a91da4e8ed7691de.png" style="max-height: 400px">

[维基百科](https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix#Other_kinds_of_transformations)的这张图片很好的总结了上面讲到的各种 2D 变换所对应的变换矩阵：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/2D_affine_transformation_matrix.svg.png" style="max-height: 800px">

### 组合变换 Composing transforms

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8385c608c232651e8274dac0c0324796.png" style="max-height: 200px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/2d448f261fa99e0ab590650550d6cb25.png" style="max-height: 130px">

- 顺序不能变，没有交换律
- 矩阵计算从右到左
- 使用齐次坐标计算时，向量左侧的矩阵将始终是 3x3 矩阵，所以复合变换的过程可以只用一个 3x3 的矩阵来表示！

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/f25b0c217398130c56b2818ce8cbba1c.png" style="max-height: 200px">

### 分解变换 Decomposing Complex Transforms

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/618421f1455e95c727ba37ac31430d9d.png" style="max-height: 200px">

如图，以不在原点的点旋转时，可以先将这个点移动到原点，再去旋转，然后再平移回去。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/40a7b927eeba39fba727ca668b6de264.png" style="max-height: 100px">

## 三维模型变换 3D Modeling transformations

与 2D 类似，三维空间中的点和向量可以使用四维的矩阵来表示（齐次坐标）：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/f2c98f125fbf0beaf0f3ea49814e7983.png" style="max-height: 100px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/bd6d55e96b9bb39f2974e9cc5655645b.png" style="max-height: 200px">

- 需要注意的是左侧矩阵的计算顺序，先红后黄（就是结合律拆开了，两个矩阵从右向左计算）。
- 二维空间中，我们刚刚已经计算出的线性变换的矩阵转换成四维空间，如下所示

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/c7aff7bc0ea0db745fd4199acf72f9d0.png" style="max-height: 200px">

<center>_缩放_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/49eabdc92e8cc63270d2c1e0670c055e.png" style="max-height: 200px">

<center>_平移_</center>

旋转变换需要考虑的多一些，先看绕轴旋转：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8b6fcef97faf67baa4ee239521079382.png" style="max-height: 200px">

<center>_绕 X 轴旋转，x 轴坐标不变（标红部分）_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/3815b8b961046d71761d3276c7993f92.png" style="max-height: 200px">

<center>_绕 Z 轴旋转，Z 轴坐标不变（标红部分）_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/d2acb00fba38fb68f53af7cfcb8e671c.png" style="max-height: 200px">

<center>_绕 Y 轴旋转略有不同_</center>

任意角度任意方向的旋转可以视为绕轴旋转的组合：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/b7216ecc927adb0266d78c8e118592a7.png" style="max-height: 100px">

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/2b88738714630227aa0e0a4509fb0766.png" style="max-height: 300px">

<center>_常见的解决方式是欧拉角，用于表示一个定点沿三个轴旋转的描述_</center>

罗德里格斯旋转公式，将任意角度的旋转总结成了一个矩阵表达式：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/1c22934b1d5baec7e212df48104ee086.png" style="max-height: 200px">

- 此处的旋转轴 n 与起点有关，不能简单的使用向量来表示，默认为过原点的轴。
- 若旋转时不在原点，可平移至原点，旋转后再平移回去。

更复杂的三维旋转需要引入四元数解决，这里没有展开讲。

## 相机变换 Camera transformation

首先相机需要定义三个属性才能确定拍出来的照片是正确的：

- 相机的位置 e；
- 相机看向物体的方向：假设为向量 g；
- 相机向上的方向，向量 t（否则相机有可能以向量 g 为轴进行旋转）；

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/f30f53bbac32a283a773addd41990515.png" style="max-height: 200px">

<center>_示意图 01_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/20772d3a8574fa6ff2dfd71aef9ef2a9.png" style="max-height: 200px">

<center>_示意图 02_</center>

其次，如果相机和物体一起运动的话，拍照的效果是一样的，因为相对静止。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/3a3b2405ef618cde66ad0b5c44d85121.png" style="max-height: 200px">

<center>_示意图 03_</center>

基于以上两点，为了方便计算，我们约定始终将相机放置在坐标的原点，相机指向 -Z 方向，相机上方为 Y 轴方向。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/6f71f23569da7b44d3d944f869b6a135.png" style="max-height: 200px">

<center>_示意图 04_</center>

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/1d3f958bbf8c9380cb8f95ad081b3232.png" style="max-height: 200px">

<center>_示意图 05_</center>

下面解决这样一个问题，从**示意图 02** 到 **示意图 04** 如何变换？

具体过程是将 e 点移动到原点，三个轴旋转到 XYZ 轴，可以使用一个变换矩阵 M 来表示。M=RT，其中 R 为三个轴的旋转矩阵，T 为 e 点的平移矩阵，先平移，后旋转。

根据前面所讲的，平移矩阵比较简单：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8831855593e50c9f341580f6f56fb386.png" style="max-height: 200px">

旋转矩阵：把 etg 旋转到 XYZ 不好计算，但可以求出 XYZ 旋转到 etg 的矩阵，然后将求得的矩阵转置（求逆）即可！

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/8688770ccb48769ac1caf5202366ae60.png" style="max-height: 200px">

## 投影变换 Projection transformation

包括透视投影 (Perspective projection) 和正交投影 (Orthographic projection)。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/bed760999e536efa533b64fc08396de2.png" style="max-height: 200px">

_透视投影和正交投影示意图，[stackoverflow](https://stackoverflow.com/questions/36573283/from-perspective-picture-to-orthographic-picture)_

**正交投影 Orthographic projection**

- 远近大小一致
- 一般用于工程视图（CAD）

一个简单的理解正交投影的方式：所有物体的`Z 值`丢掉就好了，如下图。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/d8dbf4fe0047a48939a7d05080c3201e.png" style="max-height: 200px">

但实际计算时，这种方式其实并不容易，使用更多的以下这个方法：

首先，为了投影后的物体坐标可以更方便的投影到屏幕的二维坐标上，我们会定义一个**标准视体** (canonical view volume / canonical cube)，它的边长为 2，中心点在坐标系的原点，这个立方体内的所有点都符合 `(x, y, z) ∈ [−1, 1]3`。

> 如何投影到屏幕的二维坐标上下一章讲。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/71d8880eb39d8c70ae2492376ec2b9d4.png" style="max-height: 200px">

<center>_虎书 Figure 7.3_</center>

当物体做正交投影时，并不一定就在标准视体中，此时我们会再定义一个立方体，一个刚刚好框住物体的立方体，就叫它**正交视体** (orthographic view volume)。然后使用 `[l, r] × [b, t] × [f, n]` 来描述正交视体的顶点坐标。

此时，我们只需将正交视体的中心平移至原点，然后各边缩放至与标准视体一致，即可实现正交投影。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/4b56bd1f4d3ccc0eedbd55f660b50c75.png" style="max-height: 200px">

矩阵表示：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/863579b380c9149259074e4037e440a9.png" style="max-height: 200px">

**透视投影 Perspective projection**

- 近大远小
- 更符合人眼的观察习惯，更逼真

透视投影就不能使用正交视体了，我们会定义一个框住物体的椎体，叫做**视锥** (frustum)。视锥有两个面，远平面和近平面。

透视投影的过程可以理解为，远平面以及视锥内物体上的坐标点，缩放为与近平面一般大小（Z 值不需变化），然后进行正交投影。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/cc699df8aa090323c53d9f7513ffa184.png" style="max-height: 200px">

<center>_虎书 Figure 7.12_</center>

**如何定义一个视锥？**

先说明几个概念：

- Vfov：近平面**上下**两条边的中点到相机所形成的的夹角；
- Hfov：近平面**左右**两条边的中点到相机所形成的的夹角；
- aspect ratio：近平面的宽高比；

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/cc59fcd3966bdebeb18c95afc5febe7c.png" style="max-height: 400px">

有了以上几个概念，就可以计算出 l, r, b, t 四个变量（推导要用）。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/64c97ec88a66762ddccf4aa25c15cda5.png" style="max-height: 200px">

用矩阵表示：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/9ca490cc60760e3c05d3445218ff76cf.png" style="max-height: 100px">

正交投影变换矩阵 (ortho) 上面已经有了，那如何获得缩放变换的矩阵？我们可以先使用相似三角形原理获得远平面与近平面的对应关系。

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/489c088b19af53214d43194f65563a79.png" style="max-height: 200px">

此时：`X' = nX/Z`, `Y' = nY/Z`. 转为齐次坐标后，每一行与 `Z`相乘，点的位置不会发生变化，如下所示：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/f6a7194403e47969242bdbf7f7a6921f.png" style="max-height: 200px">

此时可以逆推出缩放变换矩阵的一部分：

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/GAMES101/ce88bf8ebe38be93b93df4de24427cef.png" style="max-height: 400px">

第三行在推导之前有两个前提条件：

- Any point on the near plane will not change
- Any point’s z on the far plane will not change

然而这个推导过程我并没有理解，老师最后只是用了两个特殊的点就推导出了公式中的未知数，这样可以？？先不记了，todo 吧😑

## 视口变换 Viewport transformation

Viewport transformation 这一步是在透视投影之后的立方体转换为屏幕坐标点，其实就是**光栅化**的过程，老师单独开了一课，我们下一章见~

GAMES101-Lecture 3~4 变换

健身是个好习惯，可惜我还没养成。



## 第一部分：预备

背景介绍，训练方法的大概了解。

“老派”体操：用自身体重与身体惯性锻炼身体的一种技艺。本书介绍的锻炼体系，实际上是体操的高级形式，它能使人的力量与运动能力得到最大限度的增强。

## 第二部分：六艺十式

- 囚徒健身的基础是六大类不同的动作，即“六艺”。
- 六艺中的每一艺都细分为十个级别，难度逐级增加，第一式最容易，第十式最难。
- 下面记录的是每一类型的注意事项，最后给出总的图片说明，可直接打印。

| 动作类型 | 锻炼的主要肌肉群 |
| -------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 俯卧撑 | 胸肌（胸大肌和胸小肌）、三角肌前束、肱三头肌 |
| 深蹲 | 股四头肌、臀肌、绳肌、大腿内侧肌肉、部、小腿、双脚 |
| 引体向上 | 背阔肌、大圆肌、菱形肌、斜方肌、肱二头肌、前臂、双手 |
| 举腿 | 腹肌（即六块腹肌）、腹外斜肌（腰部肌肉）、 前锯肌（肋骨外侧肌肉）、肋间肌（肋骨之间的肌肉）、隔肌、腹横肌、 股肌、缝匠肌、髋部前部的所有复杂肌群、抓握所需的肌肉 |
| 桥 | 所有的脊椎肌肉、下背部、髋部后部、股二头肌 |
| 倒立撑 | 肱三头肌、肩部、上肢带肌、斜方肌、双手、手指、前 |

### 俯卧撑

- 整体姿势
	- 不存在绝对完美的俯卧撑姿势，因为每个人的身体情况不一样，所以每个人眼中的“完美”技巧都会略有不同。作者分享几条一般原则：
	- 避免诡异的角度和手部姿势。找到适合自己的锻炼姿势。
	- 躯干、髋部、双腿始终要成一条直线。只有那些腰部力量太弱无法锁定躯干的人，才会出现做俯卧撑时撅屁股的情况。
	- 双腿始终要并拢。如果双腿分开，做动作时就无需保持躯干稳定，练习就变容易了。
	- 在动作最高点时，双臂要伸直，但不要让肘部完全锁定，而要使其微弯，以免关节不舒服。（有时这被描述为让手臂保持“柔软”。）
	- 要平缓地呼吸。根据我的经验：上推时应呼气，下降时应吸气。但如果你感觉呼吸费力，就不要遵循这一原则，而要多呼吸几次。
- 速度
	- 快速俯卧撑：通过一种叫作“牵张反射”的机制刺激并锻炼神经系统。但千万注意循序渐进，不然会造成损伤。
	- 平缓俯卧撑：能够练就更高水平的纯粹力量，快速俯卧撑难免要依赖惯性。与爆发式运动相比，人类的关节更适应常规运动，不易损伤。
- 手部姿势
	- 手掌平放在地上或握紧双拳，高段位可以使用十根手指支撑；
	- 不要使用掌背或腕关节为支点。

### 深蹲

- 不同幅度的深蹲会锻炼不同肌肉。标准深蹲能够锻炼下半身的所有肌肉，所以你必须掌握。
- 深蹲的整个动作幅度是什么样的？动作进行到最低点时，大腿后侧会紧贴小腿，你的身体将无法继续降低。这时，需要大腿和膝盖共同发力才能将身体推起，直到双腿完全伸直。动作幅度再小哪怕一点都算不上“全幅”。
- 有些人认为，直接深蹲到最低点对膝盖不好，事实并非如此。只有在你的膝盖预先有问题时，深蹲才不利于它们。大多数时候深蹲能锻炼关节处的肌腱。
- 做深蹲时一定要完全伸直双腿。
- 在动作的反向过程中，不要直接就那样蹲下了，而要用肌肉力量有控制地下蹲，不然还有可能损伤关节。
- 下蹲过程中身体要前倾，但不要过分前倾。因为这样将过分锻炼髋部，而忽略了大腿。前倾是必要的，但不要养成向前弓背的习惯。
- 在深蹲到最低点时，你实际是“坐着”。请按照“坐”的标准来要求自己，而不是按照“蹲”的标准要求自己，有时这会帮助训练者降得更低，因为这有助于矫正髋部的姿势——避免屁股向后撅。

### 引体向上

- 理想的动作幅度
	- 手臂几乎伸直（微微弯曲），把身体上拉至下巴超过横杆。如果继续拉，直到胸部接触横杆，甚至是胸骨接触横杆，那么背阔肌已经无法发力，主要依靠的是肩胛骨之间较弱的肌肉，这样会限制力量发挥，使上肢处于容易受伤的位置。因此，做引体向上以下巴超过横杆为最佳。
- 肩部收紧
	- 肩关节是球窝关节，双手抓握横杆、身体悬于空中时，如果肩部放松，球窝关节就会被完全拉伸，只靠弹性不足的韧带维系稳定，容易受伤。
- 抓握姿势
	- 早期练习时可以使用最容易的抓握方式，本书示例是正握（指根关节朝向自己）。
	- 吊环是最好的选择。
- 蹬腿
	- 应该借助肌肉力量完成引体向上，而不是惯性。蹬腿会给关节带来不必要的压力，造成一种很有力量的错觉，动作也容易走形。
- 引体向上只依靠上肢移动全身，想要取得进步，比俯卧撑和深蹲所需要花费的时间更长。

### 举腿

- 呼吸会收紧腹部肌肉和肋间肌。为了最大化这种效果，在放下双腿时吸气，在动作进行到最高点呼气完毕。
- 腹横肌是腰部深处的肌肉层，其作用就像紧身胸衣一样，能够把内脏固定在特定位置。腹横肌如果很弱，在压力之下就可能被撕裂，使一些内脏向外凸出，形成疝气。在腹肌练习中，应该通过紧紧收缩腹部来锻炼腹横肌。在日常生活中始终通过收腹保持好姿势也会有锻炼效果。
- 做腹部练习之前，要确定胃里的食物已经消化得差不多了。吃饭与练习腹肌的时间间隔至少为两小时，否则会出现腹胀，从而影响动作。
- 做大量仰卧起坐会使腹肌轮廓分明，纯属无稽之谈。肌肉的清晰度取决于身体的精瘦度。而脂肪的减少在全身范围内是按比例分配的，不可能通过大量做某种动作而使某一部位的脂肪减少。
- 在举腿练习的最低点，如果用一点儿惯性摆动身体，动作就会变得容易不少，但千万不要这样做。如果你的举腿动作没法干净利落，那就回到上一式，直到你足够强壮再以正确的动作练习下一式。

### 桥

完美的桥有四项标准

1. 脊柱应该形成凹面，背部必须形成优美的弧形。说来简单，但如果脊柱的深层肌肉很弱，那么训练者就倾向于使用四肢撑起身体，这样背部会显得很直挺。
2. 髋部应该远离地面。孱弱的桥最明显标志就是髋部只能勉强离地；完美的桥，髋部与臀部应该比头部和肩胛骨要高。这点很难判断，除非你从侧面给自己拍一张照片。
3. 双臂与双腿应该伸直。做桥时，双臂伸直相对容易，但要双腿与其同时伸直，则需要训练者具有非常好的柔韧性。
4. 呼吸应该又深又平缓。桥使胸腔伸展，使膈受到压力，如果胸部僵硬，那训练者的呼吸会急促不平。自然的呼吸是掌握桥的标志。切记，练习时绝不要屏住呼吸。

### 倒立撑

卧推时肘部向外的姿势容易压迫肘部，使肩袖受损

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/4b3fced/c48f6efb41f79c2a6713da67b7f9fb33.png" style="max-height: 200px">

对肩袖来说，肘部向前是最自然、最安全的姿势

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/4b3fced/baf2b919fb21bc94e7a0a650bd5ceb4f.png" style="max-height: 200px">

- 倒立撑可以靠墙做，也可以“自由”做（无任何凭靠），后者要求训练者在平衡训练上投入的精力和在力量训练上投入的一样多。本书的主要目标是发展肌肉与力量，所以这套系统将集中于有墙壁依靠的练习。
- 蹬起时双手不要离墙太近——约15~25厘米（有时更远）会更稳定。双手与肩同宽，重量训练者也许倾向于更宽一些，但那样会不太稳定，并使动作缺乏效率。
- 练习倒立撑时，不要像做推举那样强迫两肘分开。肘部会自然向内，或者正对着胸前，或者略微斜向外。哪种都可以，舒服即可。
- 身体不要完全伸直，要略微向前弯曲。
- 有人发现，依靠墙壁练习倒立撑时，脚跟与墙壁之间的摩擦会增加倒立撑的难度。你可以穿一双厚袜子，并选择在平滑墙壁上练习，这样就可以减少摩擦。

### 示例

高清大图下载地址：[github](https://github.com/qb-eBook/qtjs)

<img src="https://picgo-1254029119.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/images/4b3fced/囚徒健身-六艺十式.png">

## 第三部分：自我指导

- 作者的健身哲学
- 如何制定自己专属的训练计划

- 热身
	- 人体温度比较低时，肌肉细胞非常纤弱，极易受伤。体温升高后肌肉细胞就会变得富有弹性、易弯曲，这就是为什么所有明智的训练者都会在训练前热身的原因。
	- 热身不仅可以减少训练者受伤的危险，也可以让神经系统做好运动准备，使具有润滑功能的新鲜的滑液充满关节处，以迎接难度更大的动作。
	- 最有效的热身方式就是要练习什么动作，就以此动作的低难度版热身，做上2～4组高次数的、难度递增的练习。
- 循序渐进
	- 按照示例中的顺序进行，不要跳级。一定要从最简单的动作开始，然后逐渐增加强度。给自己留出至少四周的时间，然后再全力以赴地锻炼。
- 训练势头
	- 不要着急的进行下一式，在每一式上都花些时间，乐在其中，知道问心无愧的达到升级标准。
	- “杠铃又不会跑掉。”不要执著于数字，你的身体并不理解数字，也不在乎你做的动作是不是更高级、更酷，你的身体只理解你的努力。
- 蓄势待发
	- 超大强度的训练会吞噬你的训练动力，让你的关节吃尽苦头
- 动作节奏
	- 对我的所有学生，我都建议2秒下、2秒上、在结束姿势中暂停1秒的练习节奏。你应该在所有系列中保持这一速度，至少到第五式。
	- 首先，这样有助于保护关节，培养健康的软组织——只有强壮的关节才能更好地应付爆发式的动作。其次，这有助于培养训练者的控制力、协调性，还有强力的身心连接。
- 强度
	- 努力训练是实现目标的关键所在，但在自身体重训练的语境中，“努力”并不意味着精疲力竭。将注意力集中到你所能做的难度最高的动作上，但是如果你的动作开始走形，就应该立即结束该组练习。
	- 在做高难度的练习时，你可以通过使用“部分幅度”或“暂停休息”的方法（在短暂休息后再做一两次）多做几次。但不要冒进，要保证安全。
- 训练笔记
	- 条目简单、整齐、准确就可以

### 训练计划

- 初试身手
	- 刚开始训练时，身体还不太适应，酸痛的肌肉会非常妨碍你。该计划为训练者提供了很长的恢复时间。
	- 这个计划只包括六艺中的四艺。
	- 肌肉比关节适应得快。对刚接触这些动作的软组织而言，该计划给它们留下了充足的发展时间。
	- 在十式的前期阶段使用该计划或相似的计划。等这四艺都练到第六式之后，就可以移步下一个计划了。
- 渐入佳境
	- 包括六艺的全部动作，一周训练3次。
	- 该计划很适合中级训练者，不过如果高级训练者按此计划长期练习，也会获益匪浅。
- 炉火纯青
	- 一周训练六天（而非两天或三天），但每天只集中练习六艺中的一艺，第七天休息。
	- 这套计划非常适合闲暇时间不多的人。每天通常只需六七分钟即可完成锻炼。
	- 你可以灵活地使用这个计划。如果觉得训练太频繁，可以在觉得必要的时候，额外休息一天，别受“一周七天”这个人为概念的限制。但要保证每周休息一天。
- 闭关修炼
	- 尽管由于该计划中缺少休息，力量的发展多少有点儿打折，但专注其中的话，你的全身都会得到绝好的锻炼。
	- 只有苦练体操一年以上、恢复能力超好的人才可尝试。每周至少需要空出六七个小时才能完成这套计划。
- 登峰造极
	- 想要坚持这个计划，你需要完全投入。
	- 在把大量时间投入到这套计划之前，你一定要确保自己已经完成所有动作的十式。除非你已经苦练数年，否则不要尝试它。

| 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 | 周六 | 周七 |
| ------------------------------ | ----------------- | -------------------------- | ------------------- | -------------------------------- | ----------------- | ---- |
| **初试身手** | | | | | | |
| 俯卧撑 2\~3 组 举腿 2\~3 组 | 无 | 无 | 无 | 引体向上 2\~3 组 深蹲 2\~3 组 | 无 | 无 |
| **渐入佳境** | | | | | | |
| 俯卧撑 2 组 举腿 2 组 | 无 | 引体向上 2 组 深蹲 2 组 | 无 | 倒立撑 2 组 桥 2 组 | 无 | 无 |
| **炉火纯青** | | | | | | |
| 引体向上 2\~3 组 | 桥 2\~3 组 | 倒立撑 2\~3 组 | 举腿 2\~3 组 | 深蹲 2\~3 组 | 俯卧撑 2\~3 组 | 无 |
| **闭关修炼** | | | | | | |
| 引体向上 2~3 组 | 俯卧撑 2~3 组 | 倒立撑 2~3 组 | 引体向上 2~3 组 | 俯卧撑 2~3 组 | 倒立撑 2~3 组 | |
| 深蹲 2~3 组 | 举腿 2~3 组 | 深蹲 2~3 组 | 举腿 2~3 组 | 桥 2~3 组 | 桥 2~3 组 | 无 |
| 抓握任选 | 小腿训练 2~3 组 | 颈部训练 2~3 组 | 抓握任选 | 小腿训练 2~3 组 | 颈部训练 2~3 组 | 无 |
| **登峰造极** | | | | | | |
| 引体向上 10 ~ 50 组 | 俯卧撑 10 ~ 50 组 | 倒立撑 10 ~ 50 组 | 引体向上 10 ~ 50 组 | 俯卧撑 10 ~ 50 组 | 倒立撑 10 ~ 50 组 | 无 |
| 桥 10 ~ 50 组 | 桥 10 ~ 50 组 | 举腿 10 ~ 50 组 | 深奠 10 ~ 50 组 | 举腿 10 ~ 50 组 | 深蹲 10 ~ 50 组 | 无 |

囚徒健身

《刘擎西方现代思想讲义》读书笔记 03 —— 第二章 现代人的精神危机



前文提到，现代性的困境体现在两个不同的领域：个体的心灵生活和公共的社会政治事务。这两大问题彼此关联，但在分析的层面上仍然可以分别予以探讨。

本章聚焦于个人层面，讨论个人心灵生活的一个大问题：“精神危机”或者叫“信仰危机”。

## 09 路标：现代人的“精神危机”

1. 人为什么需要信仰？
 - 当我们定了一个目标，如果一路追问下去这个目标有什么意义，最终都将指向“人生信仰/理想”。
 - 谁都无法回避这个问题，因为人在精神层面总会面对两个根本性的问题：死亡、贪欲。
 - 人们依靠信仰来来应对这两大人生难题。
 - 常见的信仰：宗教信仰、雷锋，都属于终极性的人生信仰，都可以作为这两大难题的一个应对方案。
2. 为什么现代社会确立信仰比传统社会更困难？
 - 信仰和真实之间，存在着一道裂痕：信仰是因为真实可靠才被人信奉，还是因为人的信奉才变得真实可靠？
 - 现代人倾向于依靠理性来求证和确认信仰的可靠性，但准确来说，信仰是一种价值判断，无法通过科学理性来验证，所以确立信仰变得更加困难。
 - 人需要信仰来应对死亡和贪欲，而信仰又与科学理性产生冲突，这种困境便是现代人的精神危机！
3. 寻找人生意义是一个重要但不紧急的事情，它没有标准答案，也没有另所有人都满意的回答，思想家们也只是给出了自己的分析和回答而已。

## 10 尼采 I: “上帝死了”究竟是什么意思

- 基督教信仰是整个西方世界的道德基础和人生意义的寄托，意义极其重大。这种信仰本该是真诚的，尼采发现这种信仰并不真实，而是一种“虚假的信仰”。
- 虽然尼采以反基督教著称，但他对耶稣本身并没有敌意。他认为，耶稣并不是要救赎人类，而是要告诉人们“应该如何生活”。耶稣的门徒却把经念歪了，搞出一套复杂高深的教义理论，这不是耶稣的原意，是一套虚假的思想。在这个意义上，是人杀死了上帝。
- 尼采口中“虚假的思想”到底是什么意思？
 - 尼采把他们统称为“形而上学”
 - 第一，相信在感知的表象世界背后有一个更真实的本质世界；
 - 第二，相信这个混乱的世界实际上是有目的的；
 - 第三，相信这个纷乱多样的世界背后有一种统一性。
- 尼采认为，那个所谓更真实的、有目的的、有统一性的本质世界根本不存在，它是被编造出来的，是人们为了安慰自己，为了应对挫折与痛苦而去相信的一种虚假的思想。如果我们相信虚假思想，就是把生命的希望寄托在不可靠的事物上面。当它们和生命本能冲突，我们就会怀疑这些虚假思想。结果是把我们寄托在上面的希望给打破了，人陷入虚无当中。
- 尼采说“是我们杀了上帝”，实际上是在批判西方的形而上学思想传统。尼采认为形而上学就是一些虚假的思想，是人编造出来安慰自己的。因为虚假，所以根本上是虚无的。

## 11 尼采 II: “超人”究竟是什么人

- 尼采的三大命题：人生虚无；理论虚假；生命强健。
- 人生本来没有什么意义，所有意义都是人为制造或者赋予的。但是自古以来，许多理论家发明出各种各样的概念、真理和绝对信仰，掩盖了“人生本来虚无”这个真相。尼采决意要揭露这种虚假，让人直面虚无主义的真相。
- 两种虚无主义：
 - 消极的虚无主义：面对虚无的真相，陷入悲观和绝望。
 - 积极的虚无主义：虚无的真相留出了最自由的空间，我们可以用生命本身的力量去创造生命的意义。
- 尼采呼唤一种新的人类，他把这种人叫作“超人”。在尼采的心目中，超人能够在上帝死后，自己成为自己的主人。用自己的生命意志去创造，追求自身生命力量的增长和完满，最终确立和实现自己的生命意义。

> 你们说相信扎拉图斯特拉，但扎拉图斯特拉算什么？你们说是我的信徒，但所有的信徒又算得了什么？你们没有探索自己，却发现了我……现在我要你们丢开我去发现自己，只有当你们全部否定我的时候，我才会回到你们身边。 —— 尼采

## 12 尼采 III: 我们还有共同的真相吗

传统认知模式有一个前提假定：认为存在一个客观的真相或者真理。我们去认知它，就是努力地去理解这个真相，再把它表达出来，只要不断向前推进，就可以越来越接近这个真相，最终完全认识和掌握真相。

但尼采的视角主义和这些完全不同，视角主义认为**根本就不存在一个客观真相**，我们以不同的视角去看待同一件事，就能得到不同的真相。

那还存在客观性吗？比方说夏天热冬天冷。尼采会说，根据视角主义的观点，这种“客观性”不过是一种合理的错觉。因为人们在这些问题上具有共同的视角，得出了一致的解释，才造成了这种错觉。其实客观事实也会变，它会随着“共同视角”的变化而变化。比如对月食这件事，过去的共同视角是一种神话的视角。而现在，我们共享的是一种天文学的视角。

在很多问题上人们都没有一个共同的视角，人与人之间的分歧越来越深，甚至出现整个社会的意见分裂，所谓的“后真相”时代。

那在这个后真相的时代，难道社会注定只能陷入无休止的分裂和争执吗？并不是。了解了视角主义，并不是为了让我们去跟别人划清界限，而是要保持开放的心态，我们越是运用更多的眼睛、不同的眼睛去观察同一个东西，我们对这个东西的“概念”就越“完整”。我们也能越“客观”。

## 13 弗洛伊德

如果说尼采的反叛思想颠覆了对上帝的信仰，那么弗洛伊德的思想则是颠覆了对于“人的理性”的理解。

佛洛依德发现人类心理结构中存在一个黑暗地带，叫作“无意识”，我们无法在意识中觉察到这个区域。他认为潜藏在无意识中的欲望本能往往比表层意识中的理性思考更有力量。

- **本我**：人格的最底层，是“无意识”的领域，主要是人本能的原始欲望。
- **自我**：我们能够意识到的那个自己。自我不是天生的，而是在成长过程和适应社会的过程中形成的。自我有理性，会正视社会现实，重视常识和规则。它能够感受到本我的欲望，但自我会用理性来甄别本我的要求。
- **超我**：我们心中的理想化人格。它是在人与“道德”的接触和理解中形成的，我们把来自家庭和社会的种种道德权威内在化成心灵的一部分，最终就形成了这个理想人格。我们的实际行动常常达不到这个标准，超我就会通过内疚感和罪恶感来影响我们的心理和行动。

佛洛依德认为，理性的自我无法完全控制非理性的欲望，只能不断地去应对这些欲望。它可能成功，也可能失败，失败的时候人就陷入了精神疾病状态。

在科学界，对于精神分析学说，主流观点是明确否定的。因为佛洛依德的研究过程并不符合科学规范。

在思想学界，佛洛依德的学说作为一种文化理论，流传了下来。从此，对于人的理解的核心不再是理性，而是欲望，至少也是欲望与理性的不断冲突。无论他的学说是否符合科学规范，他都永久的改变了我们理解人性的方式。

## 15 萨特

在萨特的存在主义学说中，最重要的两点：自由选择，积极行动。不过这两个信念的起点却是“虚无”。

萨特认为，我们的意识就像一个空荡荡的容器，需要被填充之后才能成为什么。人并没有什么预定的本质，人的存在原本就是虚无，它的本质是“有待形成的”的。简单地说，如果人的存在就是意识，而意识本身是虚无，那么人的存在就是虚无，这就得出了“存在就是虚无”这个命题。

而我们又是厌恶虚无的，所以我们总是需要去填满自己的虚无，去获得某种本质。最常见的就是模仿，集邮、买包、游戏 ... 但这只是局部地、暂时地满足了对确定性的渴求，根本上的虚无是无法改变的。因为我们永远无法填满自己的虚无。就是我们的“存在结构会溢出（我们）所占有的对象”。没有得到的时候当然不满足，得到之后又会产生新的不满足。

但反过来，正是因为存在没有预先的本质，所以我们才能够自由地行动。我们没有扮演任何角色，也就说明我们没有被角色所束缚，我们也就可以扮演任何角色！

可是自由的命运不是轻轻松松的好事，它还有非常严酷的一面。第一，自由选择是很沉重的负担；第二，“他人就是地狱”。

自由选择为什么会成为负担呢？因为，选择必定会带来后果。后果谁来承担？当然是自己。

人总是要维护自己的主体性，所以人与人之间一定会为了争夺主体性而斗争。每个人在和他人相处的时候，都想把他人变成客体，以此来维护自己的主体性和自由。在萨特看来，人和人的交往就是这样，总是在为了争夺主体性而斗争，即使是在爱情当中也不例外。所以说“他人即地狱”。

萨特的存在主义继承了尼采的思想传统，强调人只能自己创造自己，在自由的选择中不断塑造自己，并且承担选择的责任。他和尼采一样，否认普遍客观的价值判断标准，但是他似乎放弃了尼采的超人学说，强调人只能孤独地面对自己的选择。

萨特向我们展现了每个人都要面临的精神困境，但同时也告诉我们：我们永远都可以做出改变。用什么去改变？行动。存在主义是绝望的哲学，也是希望的哲学，但最重要的是，它是行动的哲学！